Maksymalna powierzchnia trójkąta prostokątnego. Jak znaleźć obszar trójkąta (wzory)
Trójkąt to płaska figura geometryczna o jednym kącie równym 90 °. Jednocześnie w geometrii często wymagane jest obliczenie powierzchni takiej figury. Jak to zrobić, powiemy dalej.
Najprostszy wzór na określenie pola trójkąta prostokątnego
Dane początkowe, gdzie: a i b to boki trójkąta wychodzące z kąta prostego.
Oznacza to, że powierzchnia jest równa połowie iloczynu dwóch boków wychodzących pod kątem prostym. Oczywiście do obliczenia pola zwykłego trójkąta stosuje się wzór Herona, ale aby określić wartość, trzeba znać długość trzech boków. W związku z tym będziesz musiał obliczyć przeciwprostokątną, a to jest dodatkowy czas.
Znajdź obszar trójkąta prostokątnego za pomocą wzoru Herona
Jest to dobrze znany i oryginalny wzór, ale w tym celu będziesz musiał obliczyć przeciwprostokątną wzdłuż dwóch nóg za pomocą twierdzenia Pitagorasa.
W tym wzorze: a, b, c to boki trójkąta, a p to półobwód.
Znajdź obszar trójkąta prostokątnego podając przeciwprostokątną i kąt
Jeśli żadna z nóg nie jest znana w twoim problemie, nie będziesz mógł użyć najprostszej metody. Aby określić wartość, musisz obliczyć długość nóg. Odbywa się to po prostu przez przeciwprostokątną i cosinus kąta zawartego.
b=c×cos(α)
Znając długość jednej z nóg, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, możesz obliczyć drugą stronę wychodzącą z kąta prostego.
b 2 \u003d c 2 -a 2
W tym wzorze c i a oznaczają odpowiednio przeciwprostokątną i nogę. Teraz możesz obliczyć powierzchnię za pomocą pierwszego wzoru. W ten sam sposób można obliczyć jedną z nóg, biorąc pod uwagę drugą i kąt. W takim przypadku jeden z pożądanych boków będzie równy iloczynowi nogi i stycznej kąta. Istnieją inne sposoby obliczania powierzchni, ale znając podstawowe twierdzenia i zasady, możesz łatwo znaleźć żądaną wartość.
Jeśli nie masz żadnego z boków trójkąta, a jedynie medianę i jeden z kątów, możesz obliczyć długość boków. Aby to zrobić, użyj właściwości mediany, aby podzielić trójkąt prostokątny przez dwa. W związku z tym może działać jako przeciwprostokątna, jeśli wychodzi z ostrego kąta. Użyj twierdzenia Pitagorasa, aby znaleźć długość boków trójkąta, które wychodzą pod kątem prostym.
Jak widać, znając podstawowe wzory i twierdzenie Pitagorasa, można obliczyć powierzchnię trójkąta prostokątnego, mając tylko jeden z kątów i długość jednego z boków.
W zależności od rodzaju trójkąta istnieje kilka możliwości znalezienia jego obszaru. Na przykład, aby obliczyć pole trójkąta prostokątnego, stosuje się wzór S = a * b / 2, gdzie a i b to jego nogi. Jeśli chcesz poznać obszar trójkąta równoramiennego, musisz podzielić przez dwa iloczyn jego podstawy i wysokości. Oznacza to, że S= b*h/2, gdzie b jest podstawą trójkąta, a h jest jego wysokością.
Następnie może być konieczne obliczenie obszaru równoramiennego trójkąta prostokątnego. Tutaj na ratunek przychodzi następująca formuła: S = a * a / 2, gdzie nogi „a” i „a” muszą koniecznie mieć te same wartości.
Ponadto często musimy obliczyć pole trójkąta równobocznego. Można go znaleźć za pomocą wzoru: S= a * h/2, gdzie a jest bokiem trójkąta, a h jest jego wysokością. Lub według tego wzoru: S= √3/ 4 *a^2, gdzie a jest bokiem.
Jak znaleźć obszar trójkąta prostokątnego
Musisz znaleźć obszar trójkąta prostokątnego, ale jednocześnie warunki problemu nie wskazują jednocześnie wymiarów jego dwóch nóg? Wtedy nie będziemy mogli bezpośrednio użyć tej formuły (S= a*b/2).
Rozważ kilka możliwych rozwiązań:
- Jeśli nie znasz długości jednej nogi, ale podano wymiary przeciwprostokątnej i drugiej nogi, zwracamy się do wielkiego Pitagorasa i, zgodnie z jego twierdzeniem (a ^ 2 + b ^ 2 \u003d c ^ 2 ), oblicz długość nieznanej nogi, a następnie użyj jej do obliczenia pola trójkąta.
- Jeśli poda się długość jednego ramienia i nachylenie kąta przeciwnego do niego: długość drugiego ramienia obliczamy ze wzoru - a=b*ctg(C).
- Biorąc pod uwagę: długość jednego ramienia i nachylenie kąta sąsiadującego z nim w stopniach: aby obliczyć długość drugiego ramienia, korzystamy ze wzoru - a=b*tg(C).
- I na koniec, dane: kąt i długość przeciwprostokątnej: obliczamy długość obu jej odnóg, zgodnie z następującymi wzorami - b=c*sin(C) i a=c*cos(C).
Jak znaleźć obszar trójkąta równoramiennego?
Obszar trójkąta równoramiennego można bardzo łatwo i szybko znaleźć za pomocą wzoru S \u003d b * h / 2, ale w przypadku braku jednego ze wskaźników zadanie staje się znacznie bardziej skomplikowane. W końcu trzeba podjąć dodatkowe kroki.
Możliwe opcje zadań:
- Podane: długość jednego z boków i długość podstawy. Poprzez twierdzenie Pitagorasa znajdujemy wysokość, czyli długość drugiej nogi. Pod warunkiem, że długość podstawy podzielona przez dwa to noga, a początkowo znana strona to przeciwprostokątna.
- Dane: podstawa i kąt między bokiem a podstawą. Wysokość obliczamy za pomocą wzoru h = c * ctg (B) / 2 (nie zapomnij podzielić strony „c” przez dwa).
- Biorąc pod uwagę: wysokość i kąt utworzony przez podstawę i bok: użyj wzoru c=h*tg(B)*2, aby znaleźć wysokość i pomnóż wynik przez dwa. Następnie obliczamy powierzchnię.
- Znane: długość boku i kąt między nim a wysokością. Rozwiązanie: korzystając ze wzorów - c=a*sin(C)*2 i h=a*cos(C) znajdź podstawę i wysokość, po czym obliczamy powierzchnię.
Jak znaleźć obszar równoramiennego trójkąta prostokątnego?
Jeśli wszystkie dane są znane, to za pomocą standardowej formuły S = a * a / 2 obliczamy obszar równoramiennego trójkąta prostokątnego, ale jeśli niektóre wskaźniki nie są wskazane w zadaniu, wykonywane są dodatkowe czynności.
Na przykład: nie znamy długości obu boków (pamiętamy, że są one równe w trójkącie równoramiennym), ale podana jest długość przeciwprostokątnej. Zastosujmy twierdzenie Pitagorasa, aby znaleźć te same boki „a” i „a”. Wzór pitagorejski: a^2+b^2=c^2. W przypadku równoramiennego trójkąta prostokątnego jest on przeliczany na: 2a^2 = c^2. Okazuje się, że aby znaleźć nogę „a”, należy podzielić długość przeciwprostokątnej przez pierwiastek 2. Wynikiem rozwiązania będzie długość obu nóg trójkąta równoramiennego. Następnie znajdź obszar.
Jak znaleźć obszar trójkąta równobocznego
Korzystając ze wzoru S= √3/ 4*a^2 można łatwo obliczyć pole trójkąta równobocznego. Jeżeli znany jest promień okręgu opisanego na trójkącie, to pole to można znaleźć wzorem: S= 3√3/ 4*R^2, gdzie R jest promieniem okręgu.
Jak być może pamiętasz ze szkolnego programu nauczania geometrii, trójkąt to figura utworzona z trzech segmentów połączonych trzema punktami, które nie leżą na jednej linii prostej. Trójkąt tworzy trzy kąty, stąd nazwa figury. Definicja może być inna. Trójkąt można również nazwać wielokątem z trzema rogami, odpowiedź będzie równie prawdziwa. Trójkąty są podzielone według liczby równych boków i wielkości kątów na rysunkach. Rozróżnij więc takie trójkąty jak równoramienne, równoboczne i pochyłe, a także odpowiednio prostokątne, ostrokątne i rozwarte.
Istnieje wiele formuł obliczania pola trójkąta. Wybierz, jak znaleźć obszar trójkąta, tj. której formuły użyć, tylko Ty. Warto jednak zwrócić uwagę tylko na niektóre zapisy używane w wielu formułach do obliczania pola trójkąta. Więc pamiętaj:
S to obszar trójkąta,
a, b, c to boki trójkąta,
h to wysokość trójkąta,
R jest promieniem opisanego okręgu,
p to półobwód.
Oto podstawowe zapisy, które mogą się przydać, jeśli zupełnie zapomniałeś o geometrii. Najbardziej zrozumiałe i niezbyt skomplikowane opcje obliczania nieznanego i tajemniczego obszaru trójkąta zostaną podane poniżej. Nie jest to trudne i przyda się zarówno dla potrzeb domowych, jak i dla pomocy dzieciom. Pamiętajmy, jak obliczyć powierzchnię trójkąta tak łatwo, jak łuskanie gruszek:
W naszym przypadku pole trójkąta to: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm2. Pamiętaj, że powierzchnia jest mierzona w centymetrach kwadratowych (cm2).
Trójkąt prostokątny i jego powierzchnia.
Trójkąt prostokątny to trójkąt o jednym kącie równym 90 stopni (stąd nazwany trójkątem prostokątnym). Kąt prosty tworzą dwie prostopadłe linie (w przypadku trójkąta dwa prostopadłe segmenty). W trójkącie prostokątnym może być tylko jeden kąt prosty, ponieważ suma wszystkich kątów jednego trójkąta wynosi 180 stopni. Okazuje się, że 2 inne kąty powinny dzielić między sobą pozostałe 90 stopni, na przykład 70 i 20, 45 i 45 itd. Więc przypomniałeś sobie najważniejsze, pozostaje nauczyć się, jak znaleźć obszar trójkąta prostokątnego. Wyobraź sobie, że mamy przed sobą taki trójkąt prostokątny i musimy znaleźć jego obszar S.
1. Najłatwiejszy sposób wyznaczenia pola trójkąta prostokątnego oblicza się za pomocą następującego wzoru:
W naszym przypadku pole trójkąta prostokątnego to: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cm2.
W zasadzie nie ma już potrzeby weryfikacji pola trójkąta innymi sposobami, ponieważ w życiu codziennym przyda się i tylko ten pomoże. Ale są też opcje pomiaru powierzchni trójkąta pod kątem ostrym.
2. W przypadku innych metod obliczeniowych musisz mieć tabelę cosinusów, sinusów i tangensów. Oceń sam, oto kilka opcji obliczania obszarów trójkąta prostokątnego, których nadal możesz użyć:
Zdecydowaliśmy się użyć pierwszego wzoru i z małymi plamami (narysowaliśmy zeszyt i użyliśmy starej linijki i kątomierza), ale otrzymaliśmy prawidłowe obliczenia:
S \u003d (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1,2). Otrzymaliśmy takie wyniki 3,6=3,7, ale biorąc pod uwagę przesunięcie komórki, możemy wybaczyć ten niuans.
Trójkąt równoramienny i jego powierzchnia.
Jeśli staniesz przed zadaniem obliczenia wzoru trójkąta równoramiennego, najłatwiejszym sposobem jest użycie głównego i, jak uważa się, klasycznego wzoru na obszar trójkąta.
Ale najpierw, zanim znajdziemy obszar trójkąta równoramiennego, dowiemy się, jaki to jest kształt. Trójkąt równoramienny to trójkąt, którego dwa boki są tej samej długości. Te dwie strony nazywane są bokami, trzecia strona nazywana jest podstawą. Nie myl trójkąta równoramiennego z równobocznym, tj. trójkąt równoboczny o równych wszystkich trzech bokach. W takim trójkącie nie ma szczególnych tendencji do kątów, a raczej do ich wielkości. Jednak kąty przy podstawie w trójkącie równoramiennym są równe, ale różnią się od kąta między równymi bokami. Znasz już pierwszą i główną formułę, pozostaje dowiedzieć się, jakie inne wzory na określenie pola trójkąta równoramiennego są znane.
W elementarnej geometrii trójkąt prostokątny to figura składająca się z trzech segmentów połączonych w punktach, z których dwa są ostre, a jeden prosty (czyli równy 90 °). Trójkąt prostokątny charakteryzuje się szeregiem ważnych właściwości, z których wiele stanowi podstawę trygonometrii (na przykład związek między jego bokami a kątami). Od szkoły wszyscy wiemy, jak liczyć obszar trójkąta prostokątnego, a w życiu codziennym dość często spotykamy się z tą figurą geometryczną, czasem nawet jej nie zauważając. Znajduje dość szerokie zastosowanie w technologii i dlatego jest to zadanie, z którym często muszą rozwiązywać inżynierowie, projektanci i architekci.
Architekci muszą określić tę wartość, projektując budynki z frontonami, które są wykończeniem elewacji i mają trójkątny kształt ograniczone gzymsem, a po bokach połaciami dachowymi. Często kąt między zboczami jest prosty iw takich przypadkach naczółek ma kształt trójkąta prostokątnego. Wymagane jest określenie jego powierzchni z tego prostego powodu, że konieczne jest dokładne poznanie ilości materiału budowlanego potrzebnego do jego ułożenia. Należy zauważyć, że frontony są niezbędnymi elementami budynków niskich (domy wiejskie, domki letniskowe, domki letniskowe).
Znalezienie obszaru trójkąta prostokątnego
| S | ab |
a- noga
b- noga
S- obszar trójkąta prostokątnego
kształt trójkąt prostokątny posiadają wiele detali, z których powstają nowoczesne meble. Jak wiadomo, aby jak najbardziej racjonalnie wykorzystać powierzchnię lokalu, wszystkie elementy sytuacji należy w nim umieścić w sposób optymalny. Przydaje się wykorzystanie obszarów takich jak narożniki za pomocą stołów w kształcie trójkąta, których blaty w większości przypadków są prostokątnymi trójkątami z nogami przylegającymi do ścian. Projektując i obliczając te elementy, projektanci produkcji mebli posługują się wzorem, według którego znalezienie obszaru trójkąta prostokątnego na podstawie długości jego boków. Ponadto często muszą opracować projekt stołów mocowanych bezpośrednio do ścian, które zawierają elementy nośne, które również są prawe trójkąty.
Budowniczowie zajmujący się licowaniem często muszą w swojej działalności zawodowej używać płytek ceramicznych, które mają kształt trójkąta prostokątnego z nogami o tej samej lub różnej długości. Muszą również określić obszar tych elementów, aby znaleźć wymaganą ich liczbę.
kształt trójkąt prostokątny Posiada również tak ważne i niezbędne narzędzie pomiarowe jak kwadrat. Z jego pomocą budowane i kontrolowane są kąty proste, które są bardzo szeroko stosowane i przez wielu: od zwykłych uczniów na lekcjach geometrii po projektantów ultranowoczesnych technologii.